已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率,A为右顶点,K为右准线与X轴的交点,且.(I)求椭圆的标准方程;(II)设椭圆的上顶点为B,问是否存在直线l,使直线l交椭圆
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已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率,A为右顶点,K为右准线与X轴的交点,且.(I)求椭圆的标准方程;(II)设椭圆的上顶点为B,问是否存在直线l,使直线l交椭圆
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
的左、右焦点分别为
,离心率
,A为右顶点,K为右准线与X轴的交点,且
.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)设椭圆的上顶点为B,问是否存在直线l,使直线l交椭圆于C,D两点,且椭圆的左焦点巧恰为ΔBCD的垂心?若存在,求出l的方程
r
若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)设焦点坐标为F
1
(-c,0),F
2
(c,0),
由
,得
. ①
由题知 A(a,0),K(
,0),
∴
=(c-a,0),
=(
-a,0),
由
得
②
由①、②解得
,c=1,从而b
2
=a
2
-c
2
=1,即b=1.
∴ 椭圆方程为
.………………
……………………………………4分
(Ⅱ)假设存在直线l满足题意,B(0,1),F
1
(-1,0),
于是直线
F
1
B的斜率为
.
由于BF
1
⊥CD,令l:y=-x+m,代入x
2
+2y
2
=2整理,得
3x
2
-4mx+2m
2
-2=0.
令C(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
),则
又
=(x
1
+1,y
1
)·(x
2
,y
2
-1)
=x
1
x
2
+x
2
+y
1
y
2
-y
1
=x
1
x
2
+x
2
+(m-x
1
)(m-x
2
)-(m-x
1
)
=2x
1
x
2
+m
2
-m(x
1
+x
2
)-m+(x
1
+x
2
)
=2x
1
x
2
+(1-m)(x
1
+x
2
) +m
2
-
m,
由
,代入x
1
+x
2
,x
1
x
2
得
,
整理得3m
2
+m-4=
0,
解得m=1或
.……………………………………………………………10分
当m=1时,直线l恰过B点,于是B、C、D不构成三角形,故m=1舍去.
当
的,满足Δ=8(3-m
2
)>0.
故所求的直线l为:
,即3x+3y+4=0.
解析
略
举一反三
是椭圆
上一点,
是椭圆的焦点,则
的最大值是( )
A.4
B.6
C.9
D.12
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
内有一点P
,以P为中点作弦MN,则直线MN的方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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若椭圆
的离心率是
,则双曲线
=1的离心率是______。
题型:不详
难度:
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椭圆
的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的两个焦点为
,
,
是椭圆上一点,
若
,
,则该椭圆的方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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