如图,已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆经过点(,),且它的左焦点F1将长轴分成2∶1,F2是椭圆的右焦点.(1)求椭圆的标准方程;(2)设P是椭圆上不同于左右
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如图,已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆经过点(,),且它的左焦点F1将长轴分成2∶1,F2是椭圆的右焦点.(1)求椭圆的标准方程;(2)设P是椭圆上不同于左右
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆经过点(
,
),且它的左焦点F
1
将长轴分成2∶1,F
2
是椭圆的右焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设P是椭圆上不同于左右顶点的动点,延长F
1
P至Q,使Q、F
2
关于∠F
1
PF
2
的外角平分线l对称,求F
2
Q与l的交点M的轨迹方程.
答案
解:(1)设椭圆的方程为
(a>b>0),半焦距为c,则a
2
-b
2
=c
2
,
∵ 椭圆经过点(
,
),
∴
.
又∵ 它的左焦点F将长轴分成2∶1,
∴ (a+c)∶(a-c)=2∶1,整理得a=3c.
联立①②③,即
解得a
2
=36,b
2
=32,c
2
=4.
∴ 椭圆的标准方程为
. ……………………4分
(2)∵ Q、F
2
关于∠F
1
PF
2
的外角平分线l对称,
∴ |PQ|=|PF
2
|,且M是F
2
Q的中点.
由椭圆的定义知|PF
1
|+|PF
2
|=12,
∴ |PF
1
|+|PQ|=12,即|F
1
Q|=12,
∴ Q的轨迹是以F
1
(-2,0)为圆心,12为半径的圆(除去与x轴的两个交点),其轨迹方程为(x+2)
2
+y
2
=144(y≠0). …………………7分
设M(x,y),Q(a,b),由(1)知F
2
(2,0),
∴
可整理得a=2x-2,b=2y,
∵ Q(a,b)在圆(x+2)
2
+y
2
=144(y≠0)上运动,
∴ (2x-2+2)
2
+(2y)
2
=144,即x
2
+y
2
=36.
∴ M的轨迹方程为x
2
+y
2
=36(y≠0). ……………………10分
解析
略
举一反三
已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=
,记动点P的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)若A、B是曲线C上不同的两点,O是坐标原点,求
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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若椭圆
和双曲线
有相同的左、右焦点
,P是两条曲线的一个交点,则
的值是( ).
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分13分)
椭圆
:
与抛物线
:
的一个交点为M,抛物线
在点M处的切线过椭圆
的右焦点F.
(Ⅰ)若M
,求
和
的标准方程;
(II)求椭圆
离心率的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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((本题满分12分)
已知椭圆方程为
,斜率为
的直线
过椭圆的上焦点且与椭圆相交于
,
两点,线段
的垂直平分线与
轴相交于点
.
(Ⅰ)求
的取值范围;
(Ⅱ)求△
面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知
、
分别是椭圆C:
的左焦点和右焦点,O是坐标系原点, 且椭圆C的焦距为6, 过
的弦
两端点
与
所成⊿
的周长是
.
(Ⅰ).求椭圆C的标准方程.
(Ⅱ)已知点
,
是椭圆C上不同的两点,线段
的中点为
.
求直线
的方程;
(Ⅲ)若线段
的垂直平分线与椭圆C交于点
、
,试问四点
、
、
、
是否在同一个圆上,若是,求出该圆的方程;若不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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