已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=,记动点P的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)若A、B是曲线C上不同的两点,O是坐标原点,
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已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=,记动点P的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)若A、B是曲线C上不同的两点,O是坐标原点,
题型:不详
难度:
来源:
已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=
,记动点P的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)若A、B是曲线C上不同的两点,O是坐标原点,求
的最小值.
答案
解:(1)由题意知点P的轨迹是双曲线
(a>0,b>0)的右半支,其中实半轴长a=
,焦半距c=2,
∴ b
2
=c
2
-a
2
=2,
于是C的方程为
(x>0). ……………………4分
(2)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
,
.
若AB⊥x轴,此时x
1
=x
2
,y
1
=-y
2
,
∴
=x
1
x
2
+y
1
y
2
=
.
∵ (x
1
,y
1
)在双曲线C上,
∴
=2,
即
=2. ……………………6分
若AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx+b,
由
得(1-k
2
)x
2
-2kbx-b
2
-2=0.
∵ A、B是双曲线
右支上不同的两点,
∴ 1-k
2
≠0,且Δ>0,x
1
x
2
=
>0,x
1
+x
2
=
>0,
即
可解得0<k
2
-1<
(b≠0).
……………………8分
∵ y
1
y
2
=(kx
1
+b)(kx
2
+b)=k
2
x
1
x
2
+kb(x
1
+x
2
)+b
2
=
,
∴
=x
1
x
2
+y
1
y
2
=
+
=
=2+
.
又∵ k
2
-1>0,从而
>2.
综上,当AB⊥x轴时,
取得最小值2. …………………10分
解析
略
举一反三
若椭圆
和双曲线
有相同的左、右焦点
,P是两条曲线的一个交点,则
的值是( ).
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分13分)
椭圆
:
与抛物线
:
的一个交点为M,抛物线
在点M处的切线过椭圆
的右焦点F.
(Ⅰ)若M
,求
和
的标准方程;
(II)求椭圆
离心率的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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((本题满分12分)
已知椭圆方程为
,斜率为
的直线
过椭圆的上焦点且与椭圆相交于
,
两点,线段
的垂直平分线与
轴相交于点
.
(Ⅰ)求
的取值范围;
(Ⅱ)求△
面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知
、
分别是椭圆C:
的左焦点和右焦点,O是坐标系原点, 且椭圆C的焦距为6, 过
的弦
两端点
与
所成⊿
的周长是
.
(Ⅰ).求椭圆C的标准方程.
(Ⅱ)已知点
,
是椭圆C上不同的两点,线段
的中点为
.
求直线
的方程;
(Ⅲ)若线段
的垂直平分线与椭圆C交于点
、
,试问四点
、
、
、
是否在同一个圆上,若是,求出该圆的方程;若不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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椭圆C:
的准线方程是
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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