解(1)因为,且,所以 所以椭圆C的方程为 …………………………………………….3分 (2 ) 易知椭圆C的左,右顶点坐标为,直线AS的斜率显然存在,且 故可设直线AS的方程为,从而 由得 设,则,得 从而,即 又,故直线BS的方程为 由得,所以 故 又,所以 当且仅当时,即时等号成立 所以时,线段MN的长度取最小值 ………………………………..9分 (3)由(2)知,当线段MN的长度取最小值时, 此时AS的方程为,, 因为点T到直线AS的距离等于, 所以点T在平行于AS且与AS距离等于的直线上 设,则由,解得 ① 当时,由得 由于,故直线与椭圆C有两个不同交点 ②时,由得 由于,故直线与椭圆C没有交点 综上所求点T的个数是2. ……………………………………………..14分 |