(本小题满分12分)某公园的大型中心花园的边界为椭圆,花园内种植各种花草. 为增强观赏性,在椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草

(本小题满分12分)某公园的大型中心花园的边界为椭圆,花园内种植各种花草. 为增强观赏性,在椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)
某公园的大型中心花园的边界为椭圆,花园内种植各种花草. 为增强观赏性,在椭圆内以其
中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草(如图),并以该直角三角
形斜边开辟观赏小道(其中的一条为线段). 某园林公司承接了该中心花园的施工建设,
在施工时发现,椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点的距离和为4(单位:百米),且椭圆上点
到焦点的最近距离为1(单位:百米).
(Ⅰ)以椭圆中心为原点建立如图的坐标系,求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)请计算观赏小道的长度(不计小道宽度)的最大值.
 
答案

解:(Ⅰ) 设椭圆的方程为+=1(a>b>0),
由已知,2a=4,ac=1,a=2,c=1,
b=,故椭圆的标准方程+=1.……3分
(Ⅱ)①若该直角三角形斜边斜率存在且不为0,
设直角三角形斜边所在直线方程为ykxm,斜边与椭圆的交点A(x1y1),B(x2y2),
联立方程组        y=kx+m
+=1
得3x2+4(kxm)2=12,即(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
则Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(4k2m2+3)>0,即4k2m2+3>0.
x1+ x2=" - " 8km
3+4k2
x1 x2=   ,        …………6分
y1y2=(kx1m)(kx2m)=k2x1x2km(x1x2)+m2k2-+m2
=,
要使△AOB为直角三角形,需使x1x2y1y2=0
即+=0,所以7m2-12k2-12=0, …………8分
m2=,故4k2m2+3=4k2+3-=>0,
所以|AB|===

==
=≤.
当仅当16k2=,k=±时,等号成立. …………10分
②若该直角三角形斜率不存在或斜率为0,则斜边长为.
综上可知,观赏小道长度的最大值为2(百米). …………12分
解析

举一反三
椭圆的焦点是(-3,0(3,0),P为椭圆上一点,且的等差中项,则椭圆的方程为___________________________.
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设A1、A2为椭圆的左右顶点,若在椭圆上存在异于A1、A2的点,使得,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率的取值范围是
A.B.C.D.

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已知椭圆的右焦点为,右准线轴交于点,点上,若(为坐标原点)的重心恰好在椭圆上,则______________________.
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已知定义在的函数.给出下列结论:
①函数的值域为
②关于的方程个不相等的实数根;
③当时,函数的图象与轴围成的图形面积为,则
④存在,使得不等式成立
其中你认为正确的所有结论的序号为______________________.
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.已知椭圆C:的离心率为,椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆C交于两点,点,且,求直线的方程.
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