解:(Ⅰ) 设椭圆的方程为+=1(a>b>0), 由已知,2a=4,a-c=1,a=2,c=1, ∴b=,故椭圆的标准方程+=1.……3分 (Ⅱ)①若该直角三角形斜边斜率存在且不为0, 设直角三角形斜边所在直线方程为y=kx+m,斜边与椭圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2), 联立方程组 y=kx+m +=1 得3x2+4(kx+m)2=12,即(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, 则Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)>0,即4k2-m2+3>0. x1+ x2=" - " 8km 3+4k2 x1 x2= , …………6分 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2-+m2 =, 要使△AOB为直角三角形,需使x1x2+y1y2=0, 即+=0,所以7m2-12k2-12=0, …………8分 即m2=,故4k2-m2+3=4k2+3-=>0, 所以|AB|=== = == =≤. 当仅当16k2=,k=±时,等号成立. …………10分 ②若该直角三角形斜率不存在或斜率为0,则斜边长为. 综上可知,观赏小道长度的最大值为2(百米). …………12分 |