(本小题满分14分)已知椭圆两焦点分别为、,是椭圆在第一象限弧上的一点,并满足,过点作倾斜角互补的两条直线、分别交椭圆于、两点.(1)求点坐标;(2)证明:直线

(本小题满分14分)已知椭圆两焦点分别为、,是椭圆在第一象限弧上的一点,并满足,过点作倾斜角互补的两条直线、分别交椭圆于、两点.(1)求点坐标;(2)证明:直线

题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)已知椭圆两焦点分别为,是椭圆在第一象限弧上的一点,并满足,过点作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点.
(1)求点坐标;
(2)证明:直线的斜率为定值,并求出该定值;
(3)求△面积的最大值.
答案
(1)点P的坐标为
(2)直线AB斜率为定值,值为.
(3)△PAB面积的最大值为.
解析
解:(1)由题可得

           ①
在曲线上,则  ②
由①②得,则点P的坐标为 ………(4分)
(2)设直线PA斜率K,则直线PB斜率-K,设
则直线与椭圆方程联立得:

由韦达定理:
同理求得


综上,直线AB斜率为定值,值为.     …………(9分)
(3)设AB的直线方程:
 ,得

P到AB的距离为,


当且仅当时取等号,
PAB面积的最大值为.   …………(14分)
举一反三
已知,方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是()
A.B.C.D.

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椭圆的左右焦点分别为,弦,若的内切圆周长为两点的坐标分别为,则值为()
A.B.C.D.

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已知中顶点和顶点,顶点在椭圆上,则  
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(本题12分)已知是椭圆上的三点,其中点的坐标为过椭圆的中心,且
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线(斜率存在时)与椭圆交于两点,设为椭圆轴负半轴的交点,且.求实数的取值范围
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过椭圆的左焦点轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若,则椭圆的离心率为(  )
A.B.C.D.

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