如图,椭圆的中心在原点,为椭圆的左焦点, 为椭圆的一个顶点,过点作与垂直的直线交轴于点, 且椭圆的长半轴长和短半轴长是关于的方程(其中为半焦距)的两个根.(1)

题型：不详难度：来源：

如图,椭圆的中心在原点,为椭圆的左焦点, 为椭圆的一个顶点,过点作与垂直的直线交轴于点, 且椭圆的长半轴长和短半轴长是关于的方程(其中为半焦距)的两个根.
(1)求椭圆的离心率;
(2)经过、、三点的圆与直线
相切，试求椭圆的方程.

答案

（1）
（2）

解析

(1)依题意，由根与系数的关系得，
，∴，
又∵，∴，解得；
（直接求出亦可）.        ……4分
(2)由(1)知,令,
则有,从而,
∴直线的方程为,点坐标为.      ……8分
∵△是直角三角形,∴圆心为,半径为,……10分W$
圆心到直线的距离为，
解得，               ……12分
所以椭圆的方程为    ……14分