（本小题满分12分）已知椭圆的左、右两个焦点分别为F1、F2，离心率为，且抛物线与椭圆C1有公共焦点F2（1，0）。（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设A、B为

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右两个焦点分别为F₁、F₂，离心率为，且抛物线与椭圆C₁有公共焦点F₂（1，0）。
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设A、B为椭圆上的两个动点，，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D为轨迹方程。

答案

（1）椭圆的方程为=1，抛物线的方程为
（2）点D的轨迹方程为

解析

解：（1）由题意知椭圆C₁中有
所以
故椭圆的方程为=1…………2分
由F₂（1，0）为抛物线的焦点可得
所以抛物线的方程为…………4分
（2）当直线AB的斜率存在时
设直线AB的方程为
联立
得…………6分



即
①…………8分
又，设②
又点D在直线AB上，
③…………10分
把②③代入①得

点D的轨迹方程为
当直线AB的斜率不存在时，
点D的轨迹方程为…………12分