解:设椭圆方程为:(a>b> 0),由及a2=b2+c2得a2=3b2,故椭圆方程为x2+3y2=3b2…① (1分) (1)∵直线L:y=k(x+1)交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 并且(λ≥2) ∴(x1+1,y1)=λ(-1-x2,-y2),即……② 把y=k(x+1)代入椭圆方程,得:(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2=0,且△=k2(3b2-1)+b2>0, ∴……③……④ (3分) ∴ 联立②、③得:∴(5分) (2) 当且仅当即时,S△OAB取得最大值。 此时,又∵x1+1=-λ(x2+1), ∴,代入④得:故此时椭圆的方程为 (10分) (3)由②.③联立得:将x1.x2代入④得:由k2=λ-1 得: 易知:当λ≥2时,3b2是λ的减函数,故当λ=2时,(3b2)max=3.故当λ=2, k=±1时,椭圆短半轴长取得最大值,此时椭圆方程为x2+3y2=3。(14分) |