(本小题15分)已知椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点,点是椭圆的右顶点.过点的直线交抛物线于两点,满足,其中是坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的左顶点作

(本小题15分)已知椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点,点是椭圆的右顶点.过点的直线交抛物线于两点,满足,其中是坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的左顶点作

题型:不详难度:来源:
(本小题15分)已知椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点
是椭圆的右顶点.过点的直线交抛物线两点,满足
其中是坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆的左顶点轴平行线,过点轴平行线,直线
相交于点.若是以为一条腰的等腰三角形,求直线的方程.
答案
(本小题15分)
(1),设直线代入中,
整理得。设,则
,由   
, 解得 (舍),得
所以椭圆的方程为.                    (7分)
(2)椭圆的左顶点,所以点. 易证三点共线.
(I)当为等腰的底边时,由于是线段的中点,
,所以,即直线的方程为;       (11分)
(II) 当为等腰的底边时,  又
解得  
所以直线的方程为,即;      (15分)
综上所述,当为等腰三角形时,直线的方程为
解析

举一反三
若给定椭圆C:ax2+by2=1(a>0,b>0,ab)和点N(x0,y0),则称直线l:ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”,
(1)若N(x0,y0)在椭圆C上,判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系(当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时,分别称直线与椭圆相离、相切、相交),并说明理由;
(2)命题:“若点N(x0,y0)在椭圆C的外部,则直线l与椭圆C必相交.”写出这个命题的逆命题,判断此逆命题的真假,说明理由;
(3)若N(x0,y0)在椭圆C的内部,过N点任意作一条直线,交椭圆C于A、B,交l于M点(异于A、B),设,问是否为定值?说明理由.
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若点是以为焦点的椭圆上一点,
,则此椭圆的离心率
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如图中心在原点,焦点在轴上的椭圆,离心率,且经过抛物线的焦点.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)若过点B(2,0)的直线L(斜率不等于零)与椭圆交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求OBE与OBF面积1:2,求直线L的方程。
 
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(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知椭圆,常数,且
(1)时,过椭圆左焦点的直线交椭圆于点,与轴交于点,若,求直线的斜率;
(2)过原点且斜率分别为)的两条直线与椭圆的交点为(按逆时针顺序排列,且点位于第一象限内),试用表示四边形的面积
(3)求的最大值.
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(本小题满分14分)
已知椭圆过点,长轴长为,过点C(-1,0)且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B.
(1)求椭圆的方程;
(2)若线段AB中点的横坐标是求直线l的斜率;
(3)在x轴上是否存在点M,使是与k无关的常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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