已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x＋1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=．求椭圆的方程．

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x＋1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=．求椭圆的方程．

答案

， 或 

解析

本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．满分12分．
解：求椭圆方程为
依题意知，点P、Q的坐标满足方程组

① ②

                           将②式代入①式，整理得(a²＋b²)x²＋2a²x＋a²(1－b²)="0,   " ③           ——2分
设方程③的两个根分别为x₁，x₂，那么直线y=x＋1与椭圆的交点为
P(x₁，x₁＋1)，Q(x₂，x₂＋1)．                                        ——3分
由题设OP⊥OQ,|PQ|=，可得

整理得

④ ⑤

                                       ——6分解这个方程组，得   或 
根据根与系数的关系，由③式得
(Ⅰ)   或  (Ⅱ)                ——10分
解方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)，得   或   
故所求椭圆的方程为， 或               ——12分