一圆形纸片的半径为10cm，圆心为O，F为圆内一定点，OF=6cm，M为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使M与F重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕CD，设CD

题型：不详难度：来源：

一圆形纸片的半径为10cm，圆心为O，F为圆内一定点，OF=6cm，M为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使M与F重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕CD，设CD与OM交于P点，如图

（1）求点P的轨迹方程；
（2）求证：直线CD为点P轨迹的切线.

答案

⑴⑵略

解析

（1）由题意知点M、F关于直线CD对称，可联想椭圆的定义求点P的轨迹；（2）可用反证法来证明。
解（1）由题意知点M、F关于直线CD对称，连结PF，则PF=NF,故PF+PO=PO+PM=10>6=OF.
故点P 的轨迹是以O、F为焦点、长轴长为10 的椭圆。以OF所在的直线为x轴，线段OF的中垂线为y轴建立平面直角坐标系。易求得点P的方程为：；
（2）假设CD不是点P轨迹的切线。则直线CD与椭圆一定相交。
设Q是CD上异于P的另一个交点，
则QF+QO=QM+QO>OM，这与点Q在椭圆上矛盾，假设不成立。
故直线CD与该椭圆切于点P.