在平面直角坐标系xOy中,点Q到两点M(0,-3),N(0,3)的距离之和等于4,记点Q的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)以MN为直径的圆与曲线C有几
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在平面直角坐标系xOy中,点Q到两点M(0,-3),N(0,3)的距离之和等于4,记点Q的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)以MN为直径的圆与曲线C有几
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系xOy中,点Q到两点
M(0,-
3
)
,
N(0,
3
)
的距离之和等于4,记点Q的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)以MN为直径的圆与曲线C有几个公共点?要说明理由;
(Ⅲ)P是曲线C上一点,则使△PMN是直角三角形的点P有几个?(直接作答,不写过程)
答案
(Ⅰ)设Q(x,y),QM+QN=4>MN.
由椭圆定义可知,点Q的轨迹C是以
M(0,-
3
),N(0,
3
)
为焦点,长半轴为2的椭圆.
它的短半轴
b=
2
2
-
(
3
)
2
=1
,故曲线C的方程为
x
2
+
y
2
4
=1
.
(Ⅱ)以MN为直径的圆的方程是x
2
+y
2
=3,
联立方程
x
2
+
y
2
=3
x
2
+
y
2
4
=1
,解得
x=
3
3
y=
2
6
3
,或
x=-
3
3
y=-
2
6
3
,或
x=
3
3
y=-
2
6
3
,或
x=-
3
3
y=
2
6
3
,
所以,曲线C与圆x
2
+y
2
=3的公共点有
(
3
3
,
2
6
3
)
,
(-
3
3
,-
2
6
3
)
,
(-
3
3
,-
2
6
3
)
和
(-
3
3
,-
2
6
3
)
,
故,以MN为直径的圆与曲线C有4个公共点.
(Ⅲ)使△PMN是直角三角形的点P有8个.
举一反三
如图在直角梯形ABCD中,AD=3,AB=4,BC=
3
,曲线DE上任一点到A、B两点距离之和为常数.
(1)建立适当的坐标系,求曲线DE的方程;
(2)过C点作一条与曲线DE相交且以C为中点的弦,求出弦所在直线的方程.
题型:不详
难度:
|
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方程x
2
+ky
2
=2表示焦点在y轴的椭圆,那么实数k的取值范围是 ______.
题型:不详
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|
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已知椭圆两个焦点坐标分别是(5,0),(-5,0),椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为26,则椭圆的方程为______.
题型:不详
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|
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△ABC的三边a>b>c且成等差数列,A、C两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),求顶点的轨迹.
题型:不详
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|
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椭圆的焦点为F
1
、F
2
,过点F
1
作直线与椭圆相交,被椭圆截得的最短的线段MN长为
8
3
,△MF
2
N的周长为12,则椭圆的离心率为( )
A.
2
2
5
B.
5
3
C.
3
3
D.
2
3
题型:不详
难度:
|
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