点A、B分别是椭圆x236+y220=1长轴的左、右焦点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.(1)求P点的坐标;(2)设M是椭圆长轴
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点A、B分别是椭圆x236+y220=1长轴的左、右焦点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.(1)求P点的坐标;(2)设M是椭圆长轴
题型:不详
难度:
来源:
点A、B分别是椭圆
x
2
36
+
y
2
20
=1长轴的左、右焦点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.
(1)求P点的坐标;
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
答案
(1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0),设点P(x,y),则
AP
=(x+6,y),
FP
=(x-4,y).
由已知可得
x
2
36
+
y
2
20
=1
(x+6)(x-4)+
y
2
=0
,2x
2
+9x-18=0,解得x=
3
2
,或x=-6.
由于y>0,只能x=
3
2
,于是y=
5
3
2
.∴点P的坐标是(
3
2
,
5
3
2
).
(2)直线AP的方程是
y-0
5
3
2
-0
=
x+6
3
2
+6
,即x-
3
y+6=0.
设点M(m,0),则M到直线AP的距离是
|m+6|
2
.
于是
|m+6|
2
=|6-m|,又-6≤m≤6,解得m=2,故点M(2,0).
设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,有 d
2
=(x-2)
2
+y
2
=x
2
-4x+4+20-
5
9
x
2
=
4
9
(x-
9
2
)
2
+15,
∴当x=
9
2
时,d取得最小值
15
.
举一反三
动点P为椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1
上任意一点,左右焦点分别是F
1
,F
2
,直线l为∠F
1
PF
2
的外角平分线,过F
1
作直线l的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹方程是( )
A.x
2
+y
2
=25
B.x
2
+y
2
=16
C.x
2
-y
2
=25
D.x
2
2y
2
=16
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),点A为其上任意一点,左右焦点为F
1
,F
2
,若|AF
1
|,|F
1
F
2
|,|AF
2
|成等差数列,则此椭圆的离心率为______.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
16
+
y
2
4
=1
上的两点A、B关于直线2x-2y-3=0对称,则弦AB的中点坐标为( )
A.
(-1,
1
2
)
B.
(
1
2
,-1)
C.
(
1
2
,2)
D.
(2,
1
2
)
题型:不详
难度:
|
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设椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
恒过定点A(1,2),则椭圆的中心到准线的距离的最小值______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1
的两焦点为F
1
,F
2
,点P是椭圆内部的一点,则|PF
1
|+|PF
2
|的取值范围为______.
题型:不详
难度:
|
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