已知椭圆C:M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=35,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为16(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)若O(0,0
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已知椭圆C:M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=35,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为16(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)若O(0,0
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:M:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率e=
3
5
,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为16
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)若O(0,0)、P(2,2),试探究在椭圆C内部是否存在整点Q(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得△OPQ的面积S
△OPQ
=4?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).
答案
(Ⅰ)设椭圆C的半焦距为c,由题意可知道:
2a+2c=16
c
a
=
3
5
,解得
a=5
c=3
…(3分)
又因为a
2
=b
2
+c
2
,所以
b=
a
2
-
c
2
=4
所以椭圆的方程为
x
2
25
+
y
2
16
=1
…(6分)
(Ⅱ)依题意
|OP|=2
2
,直线OP的方程为y=x,…(7分)
因为S
△OPQ
=4,所以Q到直线OP的距离为2
2
,…(8分)
所以点Q在与直线OP平行且距离为2
2
的直线l上,
设l:y=x+m,则
|m|
2
=2
2
,解得m=±4 …(10分)
当m=4时,由
y=x+4
x
2
25
+
y
2
16
<1
,
消元得41x
2
+200x<0,即
-
200
41
<x<0
…(12分)
又x∈Z,所以x=-4,-3,-2,-1,相应的y也是整数,此时满足条件的点Q有4个.
当m=-4时,由对称性,同理也得满足条件的点Q有4个.…(13分)
综上,存在满足条件的点Q,这样的点有8个.…(14分)
举一反三
己知F
1
,F
2
是椭圆
x
2
9
+
y
2
4
=1
的两个焦点.
(1)求椭圆离心率e;
(2)若点P在椭圆上,且∠F
1
PF
2
=90°,求P点坐标.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
m
2
+
y
2
3-m
=1
的一个焦点为(0,1),则其长轴长=______.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1上一点P到一个焦点的距离等于3,则它到相应的准线的距离为( )
A.2
B.4
C.5
D.7
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
2
m
2
+
y
2
n
2
=1
和双曲线
x
2
m
2
-
y
2
2
n
2
=1
有公共焦点,则椭圆的离心率是( )
A.
3
2
B.
15
3
C.
6
4
D.
30
6
题型:不详
难度:
|
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过椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的左焦点F
1
作直线交椭圆于点A,B.F
2
为右焦点,则△ABF
2
的周长为 ( )
A.2a
B.4a
C.2b
D.4b
题型:不详
难度:
|
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