已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1(-c,0)、F2(c,0)分别为其左、右焦点,A、B分别为其上顶点、右顶点,且满足∠F1AB=90°.(

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1(-c,0)、F2(c,0)分别为其左、右焦点,A、B分别为其上顶点、右顶点,且满足∠F1AB=90°.(

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),F1(-c,0)、F2(c,0)分别为其左、右焦点,A、B分别为其上顶点、右顶点,且满足∠F1AB=90°.
(1)求椭圆C的离心率e;
(2)若P为椭圆C上的任意一点,是否存在过点F2、P的直线l,使l与y轴的交点R满足


RP
=-2


PF2
?若存在,求出直线l的斜率k;若不存在,请说明理由.
答案
(1)由已知得,A(0,b),B(a,0),


AF1
=(-c,-b),


AB
=(a,-b)

F1AB=90°,∴


AF1


AB
=-ac+b2=0
,∴b2=ac,
∴c2+ac-a2=0,即(
c
a
)2+
c
a
-1=0
,解得e=
c
a
=


5
-1
2

(2)显然直线l的斜率存在.
设l:y=k(x-c),得R(0,-kc).设P(x0,y0),


RP
=-2


PF2
,得(x0,y0+kc)=-2(c-x0,-y0),
得P(2c,kc),代入椭圆方程得,
4c2
a2
+
k2c2
b2
=1
,又b2=ac,
所以4(
c
a
)2+k2
c
a
-1=0

c
a
=


5
-1
2
代入得,k2=
5-3


5
2
<0
,矛盾.
故不存在满足题意的直线l.
举一反三
已知椭圆C1的中心在坐标原点,两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点A(2,3)在椭圆C1上,求椭圆C1的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
的焦点坐标是(  )
A.(-3,0),(3,0)B.(-4,0),(4,0)C.(0,-4),(0,4)D.(0,-3),(0,3)
题型:杭州模拟难度:| 查看答案
设椭圆
x2
m2
+
y2
n2
=1
(m>0,n>0)的一个焦点与抛物线x2=4y的焦点相同,离心率为
1
3
则此椭圆的方程为(  )
A.
x2
9
+
y2
8
=1
B.
x2
8
+
y2
9
=1
C.
x2
36
+
y2
32
=1
D.
x2
32
+
y2
36
=1
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C 1
x2
a2
+
y2
b2
=λ1
(a>b>0,λ1>0)和双曲线C 2
x2
m2
-
y2
n2
=λ2(λ2≠0)
,给出下列命题:
①对于任意的正实数λ1,曲线C1都有相同的焦点;
②对于任意的正实数λ1,曲线C1都有相同的离心率;
③对于任意的非零实数λ2,曲线C2都有相同的渐近线;
④对于任意的非零实数λ2,曲线C2都有相同的离心率.
其中正确的为(  )
A.①③B.①④C.②③D.②④
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆的长轴长是短轴长的


3
倍,则椭圆的离心率等于(  )
A.


6
3
B.
2
3
C.


3
2
D.


2
3
题型:不详难度:| 查看答案
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