已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是

题型：不详难度：来源：

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₁，F₂是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF₁|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是______．

答案

设P到直线l的距离为d，
根据椭圆的第二定义得

|PF2|

d

=e=

c

a

，|PF₁|=2d，且|PF₁|+|PF₂|=2a，
则|PF₁|=2a-|PF₂|=2a-

dc

a

=2d，即d=

2a2

2a+c

，
而|PF₁|∈（a-c，a+c），即2d=

4a2

2a+c

，
所以得到

4a2 2a+c ≥a-c① 4a2 2a+c ≤a+c②

，由①得：(

c

a

)2+

c

a

+2≥0，

c

a

为任意实数；
由②得：(

c

a

)2+3

c

a

-2≥0，解得

c

a

≥

-3+ 17

2

或

c

a

≤

-3- 17

2

（舍去），
所以不等式的解集为：

c

a

≥

-3+ 17

2

，即离心率e≥

-3+ 17

2

，又e＜1，
所以椭圆离心率的取值范围是[

-3+ 17

2

，1）．
故答案为：[

-3+ 17

2

，1）