已知函数y=loga（x+3）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A．若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，当1m+2n有最小值时，椭圆x2m2+y2

题型：不详难度：来源：

已知函数y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A．若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，当

1

m

+

2

n

有最小值时，椭圆

x2

m2

+

y2

n2

=1的离心率为______．

答案

∵x=-2时，y=log₂1-1=-1，
∴函数y=log₂（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（-2，-1）即A（-2，-1），
∵点A在直线mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，

1

m

+

2

n

=

2m+n

m

+

4m+2n

n

=2+

n

m

+

4m

n

+2≥4+2•

n m • 4m n

=8，
当且仅当m=

1

4

，n=

1

2

时取等号．
∴椭圆

x2

m2

+

y2

n2

=1即

x2

1 16

+

y2

1 4

=1
离心率为：

3 4

1 2

=

3

2

故答案为：

3

2

．