设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点,求向量乘积PF1•PF2的取值范围;(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆
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设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点,求向量乘积PF1•PF2的取值范围;(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆
题型:不详
难度:
来源:
设F
1
、F
2
分别是椭圆
x
2
4
+y
2
=1的左、右焦点.
(1)若P是该椭圆上的一个动点,求向量乘积
P
F
1
•
P
F
2
的取值范围;
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,且∠MON为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
(3)设A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.
答案
(1)根据题意易知
a=2,b=1,c=
3
,所以
F
1
(-
3
,0),
F
2
(
3
,0)
,
设P(x,y),则
P
F
1
•
P
F
2
=(-
3
-x,-y)
•(
3
-x,-y)
=x
2
+y
2
-3
=
x
2
+1-
x
2
4
-3
=
1
4
(3
x
2
-8)
.
故-2
≤
P
F
1
•
P
F
2
≤1
.
(2)显然直线x=0不满足题设条件,可设直线l:y=kx-2,M(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
联立
y=kx-2
x
2
4
+
y
2
=1
,消去y,整理得:
(
k
2
+
1
4
)
x
2
+4kx+3=0
,
∴
x
1
+
x
2
=-
4k
k
2
+
1
4
,
x
1
x
2
=
3
k
2
+
1
4
,
由
△=
(4k)
2
-4(k+
1
4
)×3=4
k
2
-3>0
,
得:
k<
3
2
或k
>-
3
2
,
又0°<∠MON<90°⇔cos∠MON>0⇔
OM
•
ON
>0,
∴x
1
x
2
+y
1
y
2
>0,
又y
1
y
2
=(kx
1
+2)(kx
2
+2)=k
2
x
1
x
2
+2k(x
1
+x
2
)+4
=
3
k
2
k
2
+
1
4
+
-8
k
2
k
2
+
1
4
+4
=
-
k
2
+1
k
2
+
1
4
.
∵
3
k
2
+
1
4
+
-
k
2
+1
k
2
+
1
4
>0
,
即k
2
<4,∴-2<k<2.
故由①、②得
-2<k<-
3
2
,或
3
2
<k<2
.
(3)由题设,|BO|=1,|AO|=2.
设y
1
=kx
1
,y
2
=kx
2
,由x
2
>0,y
2
=-y
1
>0,
故四边形AEBF的面积为S=S
△BEF
+S
△AEF
=x
2
+2y
2
=
(
x
2
+2
y
2
)
2
=
x
2
2
+4
y
2
2
+4
x
2
y
2
≤
2(
x
2
2
+4
y
2
2
)
=2
2
,
当x
2
=2y
2
时,上式取等号.所以S的最大值为2
2
.
举一反三
已知F
1
,F
2
为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若∠PF
1
F
2
:∠PF
2
F
1
:∠F
1
PF
2
=1:2:3,则此椭圆的离心率为______.
题型:不详
难度:
|
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椭圆16
2
+9y
2
=144的焦点坐标______.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线过(3,-2),且与椭圆4x
2
+9y
2
=36有相同的焦点,求双曲线方程.
题型:不详
难度:
|
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已知
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,M、N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且直线PM、PN的斜率分别为k
1
、k
2
(k
1
k
2
≠0),若|k
1
|+|k
2
|的最小值为1,则椭圆的离心率为( )
A.
2
2
B.
2
4
C.
3
4
D.
3
2
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,F
1
,F
2
是左右焦点,l是右准线,若椭圆上存在点P,使|PF
1
|是P到直线l的距离的2倍,则椭圆离心率的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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