已知椭圆Γ:(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,过点F1斜率为正数的直线交Γ于A,B两点,且AB⊥AF2,|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列。(1)
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已知椭圆Γ:(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,过点F1斜率为正数的直线交Γ于A,B两点,且AB⊥AF2,|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列。(1)
题型:0103 模拟题
难度:
来源:
已知椭圆Γ:
(a>b>0)的左、右焦点为F
1
,F
2
,过点F
1
斜率为正数的直线交Γ于A,B两点,且AB⊥AF
2
,|AF
2
|,|AB|,|BF
2
|成等差数列。
(1)求Γ的离心率;
(2)若直线y=kx(k<0)与Γ交于C、D两点,求使四边形ABCD面积S最大时k的值。
答案
解:(1)根据椭圆定义及已知条件,有
|AF
2
|+|AB|+|BF
2
|=4a ①
|AF
2
|+|BF
2
|=2|AB| ②
|AF
2
|
2
+|AB|
2
=|BF
2
|
2
③
由①、②、③,解得|AF
2
|=a,|AB|=
a,|BF
2
|=
a
所以点A为短轴端点,b=c=
Γ的离心率e=
=
;
(2)由(1),Γ的方程为x
2
+2y
2
=a
2
不妨设C(x
1
,y
1
)、D(x
2
,y
2
)(x
1
<x
2
),
则C、D坐标满足
由此得x
1
=
,x
2
=
设C、D两点到直线AB:
的距离分别为d
1
、d
2
,
因C、D两点在直线AB的异侧,则
d
1
+d
2
=
=
=
=
=
∴
设t=1-k,则t>1,
当
,即
时,
最大,进而S有最大值。
举一反三
已知椭圆
(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,P是椭圆上一点,△PF
1
F
2
是以PF
1
为底边的等腰三角形,若0°<∠PF
1
F
2
<60°,则该椭圆的离心率的取值范围是( )。
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设F
1
,F
2
分别是椭圆
(a>b>0)的左、右焦点,若在其右准线上存在P,使线段PF
1
的中垂线过点F
2
,则椭圆离心率的取值范围是
[ ]
A.(0,
]
B.(0,
]
C.[
,1)
D.[
,1)
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椭圆3x
2
+ky
2
=3的焦距为2
,则k=( )。
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已知椭圆
的右焦点为F(c,0),过F作与x轴垂直的直线与椭圆相交于点P,过点P的椭圆的切线l与x轴相交于点A,则点A的坐标为( )。
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椭圆
(a>b>0)的四个顶点分别为A,B,C,D,若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是
[ ]
A.
B.
C.
D.
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