已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是x-2y=0,(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是x-2y=0,(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交

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已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是x-2y=0,
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围。

答案
解:(Ⅰ)设双曲线C的方程为(a>0,b>0),
由题设得,解得
所以双曲线方程为
(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),
的坐标满足方程组
将①式代入②式,得
整理得
此方程有两个不等实根,于是,且
整理得, ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标满足
从而线段MN的垂直平分线方程为
此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为
由题设可得
整理得,k≠0,
将上式代入③式得
整理得,k≠0,
解得
所以k的取值范围是
举一反三
已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为 [     ]
A.5x2-=1
B.
C.
D.5x2-=1
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已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到相应焦点的距离为1,则双曲线C的方程为(    )。
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已知双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,点A在双曲线第一象限的图象上,若△AF1F2的面积为1,且tan∠AF1F2=,tan∠AF2F1=-2,则双曲线方程为[     ]
A.
B.
C.
D.
题型:0108 模拟题难度:| 查看答案
已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,右准线方程为
(1)求双曲线C的方程;
(2)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A、B,证明∠AOB的大小为定值。
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双曲线与椭圆有相同的焦点,它的一条渐近线方程为y=-x,则双曲线的方程为
A.y2-x2=160
B.x2-y2=96
C.x2-y2=80
D.y2-x2=24
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