解:(Ⅰ)依题意可知, ∴, ∴点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支, 设其方程为, 则a=1,c=2,∴, ∴轨迹W的方程为。 (Ⅱ)当的斜率不存在时,显然不满足,故的斜率存在, 设的方程为, 由得, 又设, 则, 由①②③,解得:, ∵, ∴, ∴, 代入①②,得,, 消去x1,得,即, 故所求直线的方程为。 (Ⅲ)问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线x=有公共点,若直线的斜率不存在,则以AB为直径的圆为,可知其与直线x=相交; 若直线的斜率存在,则设直线的方程为,, 由(Ⅱ)知且, 又N(2,0)为双曲线的右焦点,双曲线的离心率e=2, 则, 设以AB为直径的圆的圆心为S,点S到直径x=的距离为d,则 , ∴, ∵, ∴,即,即直线与圆S相交, 综上所述,以线段AB为直径的圆与直线相交; 故对于的任意一确定的位置,在直线上存在一点Q(实际上存在两点)使得。 |