如图，双曲线=1(b∈N*)的两个焦点为F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，求此双曲线方程.

题型：不详难度：来源：

如图，双曲线=1(b∈N^*)的两个焦点为F₁、F₂，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等差数列，求此双曲线方程.

答案

双曲线方程为-y²=1.

解析

∵|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等差数列，
∴|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4c.
又|PF₁|-|PF₂|=2a=4,
∴|PF₁|=2c+2,|PF₂|=2c-2.
根据中线定理有|PF₁|²+|PF₂|²=2(|PO|²+|F₁O|²)＜2(5²+c²),
∴(2c+2)²+(2c-2)²＜2(5²+c²).
∴8c²+8＜50+2c².∴c²＜7,
即4+b²＜7.∴b²＜3.
又b∈N^*,∴b=1.
∴所求双曲线方程为-y²=1.