如图所示,倾斜角为的直线经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点.(1)求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程;(2)若为锐角,作线段AB的垂直平分线

如图所示,倾斜角为的直线经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点.(1)求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程;(2)若为锐角,作线段AB的垂直平分线

题型:不详难度:来源:
如图所示,倾斜角为的直线经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点.
(1)求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程;
(2)若为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2为定值, 
并求此定值.
答案
(1)抛物线的焦点坐标为F(2,0),准线方程为x=-2,(2)8
解析
(1)解 由已知得2 p=8,∴=2,
∴抛物线的焦点坐标为F(2,0),准线方程为x=-2.
(2)证明 设A(xA,yA),B(xB,yB),直线AB的斜率为k=tan,则直线方程为y=k(x-2),
将此式代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,
故xA+xB=,
记直线m与AB的交点为E(xE,yE),则
xE==,yE=k(xE-2)=,
故直线m的方程为y-=-,
令y=0,得点P的横坐标xP=+4,
故|FP|=xP-2==,
∴|FP|-|FP|cos2=(1-cos2)==8,为定值.
举一反三
已知双曲线=1的右焦点是F,右顶点是A,虚轴的上端点是B,·=6-4,∠BAF=150°.
(1)求双曲线的方程;
(2)设Q是双曲线上的点,且过点F、Q的直线l与y轴交于点M,若+2=0,求直线l的斜率.
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已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0,
(1)若双曲线经过P(,2),求双曲线方程;
(2)若双曲线的焦距是2,求双曲线方程;
(3)若双曲线顶点间的距离是6,求双曲线方程.
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求与双曲线=1共渐近线,且过点A(2,-3)的双曲线方程.
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双曲线的左焦点为,顶点为是该双曲线右支上任意一点,则分别以线段为直径的两圆一定(    )
A.相交B.内切C.外切D.相离

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已知曲线为正常数.直线与曲线的实轴不垂直,且依次交直线、曲线、直线4个点,为坐标原点.

(1)        若,求证:的面积为定值;
(2)        若的面积等于面积的,求证:
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