在双曲线的一支上有不同的三点，它们与点的距离依次成等差数列。（1）求的值；（2）求证：线段的垂直平分线经过某一定点，并求出定点的坐标。

题型：不详难度：来源：

在双曲线的一支上有不同的三点，它们与点的距离依次成等差数列。
（1）求的值；
（2）求证：线段的垂直平分线经过某一定点，并求出定点的坐标。

答案

⑴⑵证明略

解析

（1），为上焦点，上准线方程为，根据圆锥曲线的共同性质有：，，，由知。
（2）设的中点为，则，因此点的坐标为，∵在双曲线上，∴，作差得，∴，故，∴的垂直平分线的方程为，令得，故的垂直平分线恒过定点。