本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.满分12分. 解法一:设双曲线的方程为=1. 依题意知,点P,Q的坐标满足方程组 将②式代入①式,整理得(5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. ③ ——3分 设方程③的两个根为x1,x2,若5b2-3a2=0,则=,即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行,故与双曲线只能有一个交点同,与题设矛盾,所以5b2-3a2≠0. 根据根与系数的关系,有 ④ ⑤ ——6分 由于P、Q在直线y=(x-c)上,可记为P (x1,(x1-c)),Q (x2,(x2-c)). 由OP⊥OQ得·=-1, 整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. ⑥ 将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得3a4+8a2b2-3b4=0,即(a2+3b2)(3a2-b2)=0. 因为 a2+3b2≠0,解得b2=3a2,所以 c==2a. ——8分 由|PQ|=4,得(x2-x1)2=[(x2-c)-(x1-c)]2=42. 整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. ⑦ 将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1. ——10分 将a2 =1代入b2=3a2得 b2=3. 故所求双曲线方程为x2-=1. ——12分 解法二:④式以上同解法一. ——4分 解方程③得x1=,x2= ④ ——6分 由于P、Q在直线y=(x-c)上,可记为P (x1,(x1-c)),Q (x2,(x2-c)). 由OP⊥OQ,得x1 x2+(x1-c)·(x2-c)=0. ⑤ 将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0, 即 (a2+3b2)(3a2-b2)=0.因a2+3b2≠0,解得b2=3a2. ——8分 由|PQ|=4,得(x2-x1)2+[(x2-c)-(x1-c)]2=42. 即 (x2-x1)2=10. ⑥ 将④式代入⑥式并整理得(5b2-3a2)2-16a2b4=0. ——10分 将b2=3a2代入上式,得a2=1,将a2=1代入b2=3a2得b2=3. 故所求双曲线方程为x2-=1. ——12分 |