已知双曲线与椭圆x225+y29=1的焦点相同,且它们的离心率之和等于145.(1)求双曲线的离心率的值;(2)求双曲线的标准方程.
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已知双曲线与椭圆x225+y29=1的焦点相同,且它们的离心率之和等于145.(1)求双曲线的离心率的值;(2)求双曲线的标准方程.
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线与椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=1
的焦点相同,且它们的离心率之和等于
14
5
.
(1)求双曲线的离心率的值;
(2)求双曲线的标准方程.
答案
(1)在椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=1
中,
a
2
=25,b
2
=9,c
2
=16,
离心率e=
4
5
,
∵双曲线与椭圆的离心率之和等于
14
5
,
∴双曲线的焦点坐标也在x轴上,坐标为(±4,0),
双曲线的离心率e′=
14
5
-
4
5
=2.
(2)∵椭圆焦点在x轴上,
∴其焦点坐标为(±4,0),
∵双曲线与椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=1
的焦点相同,
∴双曲线的焦点坐标也在x轴上,坐标为(±4,0),
由题意设双曲线方程为
x
2
m
2
-
y
2
n
2
=1(m>0,n>0)
,
由(1)知,c=4,e′=2,
∴
e
′
=
4
m
=2
,
解得m=2,∴n
2
=16-4=12,
∴双曲线方程为
x
2
4
-
y
2
12
=1
.
举一反三
设双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,离心率为e,过F
2
的直线与双曲线的右支交于A、B两点,若△F
1
AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e
2
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的通项公式为
a
n
=
1
n(n+1)
(n∈
N
*
)
,其前n项和
S
n
=
9
10
,则双曲线
x
2
n+1
-
y
2
n
=1
的渐近线方程为( )
A.
y=±
2
2
3
x
B.
y=±
3
2
4
x
C.
y=±
3
10
10
x
D.
y=±
10
3
x
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=ax+
b
x
(b≠0)的图象是以直线y=ax和y轴为渐近线的双曲线.则由函数
f(x)=
3
x
3
+
2
3
x
表示的双曲线的实轴长等于______.
题型:不详
难度:
|
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点P为直线x+2y-1=0上的一个动点,F
1
、F
2
为双曲线
x
2
4
-
y
2
5
=1
的左、右焦点,则
P
F
1
•
P
F
2
的最小值为______.
题型:不详
难度:
|
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如果圆锥曲线
y
2
λ+5
-
x
2
2-λ
=1
的焦距与实数λ无关,那么它的焦点坐标是______.
题型:不详
难度:
|
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