设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C
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设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C
题型:不详
难度:
来源:
设F
1
,F
2
是双曲线
C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的两个焦点,P是C上一点,若|PF
1
|+|PF
2
|=6a,且△PF
1
F
2
的最小内角为30°,则C的渐近线方程为______.
答案
如图所示,
不妨设点P在双曲线的右支上.
则|PF
1
|-|PF
2
|=2a,又|PF
1
|+|PF
2
|=6a,
联立解得
|P
F
1
|=4a
|P
F
2
|=2a
.
∵4a>2a,|F
1
F
2
|=2c>2a.
∴∠PF
1
F
2
是最小角,因此
∠P
F
1
F
2
=3
0
°
.
由余弦定理可得:
|P
F
2
|
2
=|P
F
1
|
2
+|
F
1
F
2
|
2
-2
|P
F
1
||
F
1
F
2
|cos3
0
°
,
∴(2a)
2
=(4a)
2
+(2c)
2
-2×4a×2c•cos30°,
化为
c
2
-2
3
ac+3
a
2
=0,
∴
e
2
-2
3
e+3=0
,
解得e=
3
.
∴
3
=
c
a
=
1+
b
2
a
2
,
解得
b
a
=
2
.
∴渐近线方程为
y=±
2
x
.
故答案为:
y=±
2
x
.
举一反三
已知双曲线
y
2
t
2
-
x
2
3
=1(t>0)
的一个焦点与抛物线
y=
1
8
x
2
的焦点重合,则此双曲线的离心率为( )
A.2
B.
3
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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若双曲线C:2x
2
-y
2
=m(m>0)与抛物线y
2
=16x的准线交于A,B两点,且
|AB|=4
3
,则m的值是( )
A.116
B.80
C.52
D.20
题型:不详
难度:
|
查看答案
双曲线
x
2
4
-
y
2
12
=1
上一点P到右焦点F的距离为8,则P到右准线的距离为______.
题型:不详
难度:
|
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设F
1
,F
2
分别为双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)的左右焦点,若在双曲线的右支上存在一点P满足:①△PF
1
F
2
是以PF
1
为底边的等腰三角形;②直线PF
1
与圆
x
2
+
y
2
=
1
4
a
2
相切,则此双曲线的离心率为______.
题型:不详
难度:
|
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设双曲线C:
x
2
2
-
y
2
=1
的左、右顶点分别为A
1
、A
2
,垂直于x轴的直线a与双曲线C交于不同的两点S、T.
(1)求直线A
1
S与直线A
2
T的交点H的轨迹E的方程;
(2)设A,B是曲线E上的两个动点,线段AB的中垂线与曲线E交于P,Q两点,直线
l:x=
1
2
,线段AB的中点M在直线l上,若F(1,0),求
FP
•
FQ
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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