设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;(2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求
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设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R. (1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值; (2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围. |
答案
(1)f"(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1). 因f(x)在x=3取得极值,所以f"(3)=6(3-a)(3-1)=0.解得a=3. 经检验知当a=3时,x=3为f(x)为极值点. (2)令f"(x)=6(x-a)(x-1)=0得x1=a,x2=1. 当a<1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f"(x)>0,所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增 函数,故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数. 当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f"(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函 数,从而f(x)在(-∞,0]上也为增函数. 综上所述,当a∈[0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)上为增函数. |
举一反三
已知函数f(x)=x3-x,其图象记为曲线C. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)证明:若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)),曲线C与其在点P2(x2,f(x2))处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)),线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则为定值. |
已知函数f(x)=(x2-a)ex(e为自然对数的底数),g(x)=f(x)-b,其中曲线f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为-3. (1)求函数f(x)的单调区间;(2)设方程g(x)=0有且仅有一个实根,求实数b的取值范围. |
已知函数f(x)=mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1) (1)若曲线C:y=f(x)在点P(0,1)处的切线L与C有且只有一个公共点,求m的值; (2)求证:函数f(x)存在单调减区间[a,b],令t=b-a,求t的取值范围. |
函数f(x)=-(a<b<1),则( )A.f(a)=f(b) | B.f(a)<f(b) | C.f(a)>f(b) | D.f(a),f(b)大小关系不能确定 |
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(理)函数y=( )A.(-∞,+∞)上是单调递增函数 | B.(-∞,+∞)上是单调减函数 | C.[-1,1]上是单调增函数,(-∞,-1)和(1,+∞)上分别是单调减函数 | D.[-1,1]上是单调减函数,(-∞,-1)和(1,+∞)上分别是单调增函数 |
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