已知函数f(x)=(x2-a)ex(e为自然对数的底数),g(x)=f(x)-b,其中曲线f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为-3.(1)求函数f(x)的单
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已知函数f(x)=(x2-a)ex(e为自然对数的底数),g(x)=f(x)-b,其中曲线f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为-3. (1)求函数f(x)的单调区间;(2)设方程g(x)=0有且仅有一个实根,求实数b的取值范围. |
答案
(1)f′(x)=(x2+2x-a)ex ∴f′(0)=-ae0=-a由题意知f′(0)=-3 解得a=3 于是f′(x)=(x+3)(x-1)ex 当x<-3或x>1时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 当-3<x<1时f′(x)<0,f(x)是减函数; 所以f(x)的单调增区间是(-∞,-3),(1,+∞),单调减区间是(-3,1). (2)由(1)知,当x=-3时,f(x)有极大值,为f(-3)=(9-3)e-3=; 当x=时,f(x)有极小值,为f(1)=(1-3)e=-2e. 又ex>0当x<-或x> 时,f(x)>0 因为方程g(x)=0有且仅有一个实根,所以b>或b=-2e. 所以实数b的取值范围是{b|b>或b=-2e}. |
举一反三
已知函数f(x)=mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1) (1)若曲线C:y=f(x)在点P(0,1)处的切线L与C有且只有一个公共点,求m的值; (2)求证:函数f(x)存在单调减区间[a,b],令t=b-a,求t的取值范围. |
函数f(x)=-(a<b<1),则( )A.f(a)=f(b) | B.f(a)<f(b) | C.f(a)>f(b) | D.f(a),f(b)大小关系不能确定 |
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(理)函数y=( )A.(-∞,+∞)上是单调递增函数 | B.(-∞,+∞)上是单调减函数 | C.[-1,1]上是单调增函数,(-∞,-1)和(1,+∞)上分别是单调减函数 | D.[-1,1]上是单调减函数,(-∞,-1)和(1,+∞)上分别是单调增函数 |
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函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个数为( )![魔方格](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018234251-48434.png) |
已知函数f(x)=3x3-9x+5. (Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)求函数f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值. |
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