已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1;(1)当a为何值时,直线与双曲线有一个交点;(2)直线与双曲线交于P、Q两点且以PQ为直径的圆过坐标原点,求a值.
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已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1; (1)当a为何值时,直线与双曲线有一个交点; (2)直线与双曲线交于P、Q两点且以PQ为直径的圆过坐标原点,求a值. |
答案
(1)联立方程组,得(3-a2)x2-2ax-2=0. ∵直线l与曲线C有两个交点P、Q, ∴ | 3-a2≠ 0 | △=4a2-4(3-a2)×(-2)=0 |
| | 或a2-3=0 ∴或a=± ∴a=±或a=± (2)设点P、Q的坐标为(x1,y1)、(x2,y2). 由(1)可知,. ∵以线段PQ为直径的圆经过原点, ∴⊥,即x1x2+y1y2=0. 又y1=ax1+1,y2=ax2+1, ∴x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, 即(a2+1)•+a•+1=0,解得a=±1 ∴a=±1时,以线段AB为直径的圆经过坐标原点. |
举一反三
若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,则双曲线的离心率为( ) |
若双曲线-=1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率是( ) |
F为双曲线:-=1左焦点,过其上一点 P作直线PF⊥x轴,交双曲线于p,若PF等于焦距,求双曲线的离心率______. |
若F是双曲线-=1的一个焦点,P1、P2、P3、P4是双曲线上同一支上任意4个不同的点,且+++=,则||+||+||+|=______. |
双曲线-=1上的点P到一个焦点的距离为7,则其到另一个焦点的距离为( ) |
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