设F是双曲线x2a2-y2b2=1的右焦点,双曲线两条渐近线分别为l1,l2,过F作直线l1的垂线,分别交l1,l2于A、B两点.若OA,AB,OB成等差数列,
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设F是双曲线x2a2-y2b2=1的右焦点,双曲线两条渐近线分别为l1,l2,过F作直线l1的垂线,分别交l1,l2于A、B两点.若OA,AB,OB成等差数列,
题型:不详
难度:
来源:
设F是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
的右焦点,双曲线两条渐近线分别为l
1
,l
2
,过F作直线l
1
的垂线,分别交l
1
,l
2
于A、B两点.若OA,AB,OB成等差数列,且向量
BF
与
FA
同向,则双曲线离心率e的大小为______.
答案
不妨设OA的倾斜角为锐角
∵向量
BF
与
FA
同向,,
∴渐近线l
1
的倾斜角为(0,
π
4
),
∴渐近线l
1
斜率为:k=
b
a
<1,∴
b
2
a
2
=
c
2
-
a
2
a
2
=
e
2
-1<1
,∴1<e
2
<2
∴|AB|
2
=(|OB|-|OA|)(|OB|+|OA|)=(|OB|-|OA|)2|AB|,
∴|AB|=2(|OB|-|OA|)
∴|OB|-|OA|=
1
2
|AB|
∵|OA|,|AB|,|OB|成等差数列
∴|OA|+|OB|=2|AB|
∴|OA|=
3
4
|AB|
∴在直角△OAB中,tan∠AOB=
4
3
由对称性可知:OA的斜率为k=tan(
π
2
-
1
2
∠AOB)
∴
2k
1-
k
2
=
4
3
,∴2k
2
+3k-2=0,∴k=
1
2
(k=-2舍去);
∴
b
a
=
1
2
,∴
b
2
a
2
=
c
2
-
a
2
a
2
=
e
2
-1=
1
4
∴e
2
=
5
4
∴e=
5
2
故答案为
5
2
.
举一反三
若双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
的一条渐近线方程为x+3y=0,则此双曲线的离心率为______.
题型:不详
难度:
|
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中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为4x+3y=0,则该双曲线的离心率为 ______
题型:盐城二模
难度:
|
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点A、B是双曲线
x
2
4
-
y
2
5
=1
右支上的两点,AB中点到y轴的距离为4,则AB的最大值为______.
题型:不详
难度:
|
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抛物线y
2
=4mx(m>0)的焦点到双曲线
x
2
16
-
y
2
9
=l的一条渐近线的距离为3,则此抛物线的准线方程为 ______.
题型:不详
难度:
|
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双曲线y
2
-x
2
=1的焦点坐标为______.
题型:武昌区模拟
难度:
|
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