设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2=30°的最小内角为30
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设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2=30°的最小内角为30
题型:湖南
难度:
来源:
设F
1
,F
2
是双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF
1
|+|PF
2
|=6a,且△PF
1
F
2
=30°的最小内角为30°,则C的离心率为______.
答案
因为F
1
、F
2
是双曲线的两个焦点,P是双曲线上一点,且满足|PF
1
|+|PF
2
|=6a,
不妨设P是双曲线右支上的一点,由双曲线的定义可知|PF
1
|-|PF
2
|=2a
所以|F
1
F
2
|=2c,|PF
1
|=4a,|PF
2
|=2a,
∵△PF
1
F
2
的最小内角∠PF
1
F
2
=30°,由余弦定理,
∴|PF
2
|
2
=|F
1
F
2
|
2
+|PF
1
|
2
-2|F
1
F
2
||PF
1
|cos∠PF
1
F
2
,
即4a
2
=4c
2
+16a
2
-2c×4a×
3
,
∴c
2
-2
3
ca+3a
2
=0,
∴c=
3
a
所以e=
c
a
=
3
.
故答案为:
3
.
举一反三
抛物线y
2
=4x的焦点到双曲线
的渐近线的距离是( )
A.
B.
C.1
D.
题型:四川
难度:
|
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已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)的离心率e=2,过双曲线上一点M作直线MA,MB交双曲线于A,B两点,且斜率分别为k
1
,k
2
.若直线AB过原点,则k
1
•k
2
的值为______.
题型:鹰潭一模
难度:
|
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已知双曲线
的一个焦点与圆x
2
+y
2
-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于
,则该双曲线的标准方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知F为双曲线C:
x
2
9
-
y
2
16
=1
的左焦点,P,Q为C上的点,若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为4444.
题型:辽宁
难度:
|
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已知双曲线
(a>0,b>0)
的两条渐近线与抛物线y
2
=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为
,则p=( )
A.1
B.
C.2
D.3
题型:天津
难度:
|
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