己知F1,F2分别是双曲线x2-y2b2=1的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°.廷长AF2交双曲线右支于点B,则

己知F1,F2分别是双曲线x2-y2b2=1的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°.廷长AF2交双曲线右支于点B,则

题型:温州二模难度:来源:
己知F1,F2分别是双曲线x2-
y2
b2
=1
的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°.廷长AF2交双曲线右支于点B,则△F1AB及的面积等于______.
答案
如图所示,由双曲线的方程可知:a=1.
魔方格

∴|AF1|-|AF2|=2,
∵|AF2|=2,∴|AF1|=4.
|F1F2|2=(2c)2=42+22-2×4×2×cos45°,化为c2=5-2


2

b2=c2-1=4-2


2

设A(x1,y1),B(x2,y2).







(x1-c)2+
y21
=2
b2
x21
-
y21
=b2
,化为c2
x21
-2cx1-3=0

解得x1=
3
c
x1=-
1
c
(舍去).
由此解出A的坐标为(
3
c


4-(
3
c
-c)2
),
设直线AB方程为x=my+c,与双曲线x2-
y2
b2
=1
联解,可得(m2-
1
b2
)y2+2cmy+b2=0

由根与系数的关系,得到





y1+y2=
2cm
1
b2
-m2
y 1y2=
b2
m2-
1
b2
,结合y1=


4-(
3
c
-c)2
化简得到|y2|=(


2
-1
)y1
S△BF1F2
S△AF1F2
=|
y2
y1
|
=


2
-1

∵双曲线中,△AF1F2的面积S △AF 1F2=
b2
tan22.5°
=
4-2


2


2
-1
=2


2

∴△BF1F2的面积S △BF 1F2=(


2
-1
)S △AF 1F2=4-2


2

由此可得△F1AB及的面积S=S △AF 1F2+S △BF 1F2=4
故答案为:4
举一反三
双曲线-y2=1的一个焦点到它的渐近线的距离为(  )
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A.1B.C.D.2
已知双曲线
x2
4
-
y2
5
=1
的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线上,且PF2⊥x轴,则F2到直线PF1的距离为______.
在平面直角坐标系xOy中,已知y=


3
x
是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一条渐近线方程,则此双曲线的离心率为22.
设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±4y=0,则双曲线的离心率为(  )
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A.B.C.D.
已知F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是(  )
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