已知椭圆的左,右两个顶点分别为A、B,曲线C是以A、B两点为顶点,焦距为的双曲线。设点P在第一象限且在曲线C上,直线AP与椭圆相交于另一点T。(1)求曲线C的方

已知椭圆的左,右两个顶点分别为A、B,曲线C是以A、B两点为顶点,焦距为的双曲线。设点P在第一象限且在曲线C上,直线AP与椭圆相交于另一点T。(1)求曲线C的方

题型:上海市模拟题难度:来源:
已知椭圆的左,右两个顶点分别为A、B,曲线C是以A、B两点为顶点,焦距为的双曲线。设点P在第一象限且在曲线C上,直线AP与椭圆相交于另一点T。
(1)求曲线C的方程;
(2)设P、T两点的横坐标分别为x1、x2,求证x1·x2为一定值;
(3)设△TAB与△POB(其中O为坐标原点)的面积分别为S1与S2,且,求S12-
S22的取值范围。
答案

解:(1)依题意可得A(-1,0),B(1,0)
双曲线的焦距为,∴c=
∴b2=c2-a2=5-1=4
∴双曲线C的方程为
(2)证明:设点P(x1,y1)、T(x2,y2)(xi>0,i=1,2),直线AP的斜率为k(k>0),则直线AP的方程为y=k(x+1)
联立方程组 整理,得
解得x=-1或
同理方程组可得:
∴x1·x2=1为一定值
(3)设点P(x1,y1)、T(x2,y2)(xi>0,i=1,2),

≤15,∴,即
∵点P在双曲线上,则,所以,即
又∵点P是双曲线在第一象限内的一点,所以


由(2)知,,即,设,则

上单调递减,在上单调递增、
∴当t=4,即时,
当t=2,即时,
的取值范围为


举一反三
双曲线)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若垂直于x轴,则双曲线的离心率为[     ]
A. 2
B. 3    
C.  
D.  
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.已知双曲线的一个焦点在圆上,则双曲线的渐近线方程为(   ).
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已知B为双曲线的左准线与x轴的交点,点A(0,b),若满足的点P在双曲线上,则该双曲线的离心率为(    )
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已知双曲线的左右焦点为F1、F2P是右支上一点,PF2⊥F1F2,OH⊥PF1H,OH=λOF1,λ∈
(1)当时,求双曲线的渐近线方程;
(2)求双曲线的离心率的取值范围;
(3)当离心率最大时,过F1、F2P的圆截y轴线段长为8,求该圆的方程.
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F(-c,0)是双曲线的左焦点,P是抛物线y2=4cx上一点,直线FP与圆x2+y2=a2
且PE=FE,若双曲线的焦距为则双曲线的实轴长为[     ]
A. 4
B .2
C .
D .
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