已知抛物线E的顶点在原点,焦点在x轴上,开口向左,且抛物线上一点M到其焦点的最小距离为14,抛物E与直ly=k(x+1)(k∈R)相交于A、B两点.(1)求抛物

已知抛物线E的顶点在原点,焦点在x轴上,开口向左,且抛物线上一点M到其焦点的最小距离为14,抛物E与直ly=k(x+1)(k∈R)相交于A、B两点.(1)求抛物

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已知抛物线E的顶点在原点,焦点在x轴上,开口向左,且抛物线上一点M到其焦点的最小距离为
1
4
,抛物E与直ly=k(x+1)(k∈R)相交于A、B两点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)当△OAB的面积等


10
时,求k的值.
答案
(1)由题意得
p
2
=
1
4
,∴p=
1
2
,∴抛物线E的方程y2=-x;
(2)由方程组





y2=-x
y=k(x+1)
消去x后,得ky2+y-k=0,
A(x1,y1),B(x2,y2),
则有y1+y2=-
1
k
,y1y2=-1,
∴|AB|=


1+
1
k2


1
k2
+4
,h=d=
|k|


1+k2

∴S=
1
2


1
k2
+4
=


10

∴k=±
1
6
举一反三
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示),交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则此抛物线的方程为(  )
A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=
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3
已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(0,1).
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)在抛物线C上是否存在点P,使得过点P的直线交C于另一点Q,满足PF⊥QF,且PQ与C在点P处的切线垂直?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(|AF|>|BF|),交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=2,则此抛物线的方程为______.
已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F在直线l:x-y+1=0上
(I)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线l与抛物线C相交于P,Q两点,求线段PQ中点M的坐标.
已知抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上,又知此抛物线上一点A(m,-3)到焦点F的距离是5,求抛物线的方程及m的值.