已知抛物线方程y2=mx（m∈R，且m≠0）．（Ⅰ）若抛物线焦点坐标为（1，0），求抛物线的方程；（Ⅱ）若动圆M过A（2，0），且圆心M在该抛物线上运动，E、F
题型：湛江二模难度：来源：
已知抛物线方程y2=mx（m∈R，且m≠0）．
（Ⅰ）若抛物线焦点坐标为（1，0），求抛物线的方程；
（Ⅱ）若动圆M过A（2，0），且圆心M在该抛物线上运动，E、F是圆M和y轴的交点，当m满足什么条件时，|EF|是定值． |
答案
（Ⅰ）依题意：=1．（2分）
∴p=2∴所求方程为y2=4x．（4分）
（Ⅱ）设动圆圆心为M（a，b），（其中a≥0），E、F的坐标分别为（0，y1），（0，y2）
因为圆M过（2，0），
故设圆的方程（x-a）2+（y-b）2=（a-2）2+b2（6分）
∵E、F是圆M和y轴的交点
∴令x=0得：y2-2by+4a-4=0（8分）
则y1+y2=2b，y1•y2=4a-4
|EF|===（10分）
又∵圆心M（a，b）在抛物线y2=mx上
∴b2=ma（11分）
∴|EF|==．（12分）
∴当m=4时，|EF|=4（定值）．（14分） |
举一反三
已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，且过点（1，2）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）命题：“过椭圆+=1的一个焦点F1作与x轴不垂直的任意直线l”交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值是”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线T，过该圆锥曲线焦点F1的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F1、M两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明．
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于抛物线的一般性命题（不必证明）． |
已知顶点为原点O，焦点在x轴上的抛物线，其内接△ABC的重心是焦点F，若直线BC的方程为4x+y-20=0．
（1）求抛物线方程；
（2）轴上是否存在定点M，使过M的动直线与抛物线交于P，Q两点，满足∠POQ=90°？证明你的结论． |
已知椭圆C：+=1的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切．
（Ⅰ）求曲线D的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的△APM？①点M在椭圆C上；②点O为APM的重心．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（若三角形ABC的三点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则其重心G的坐标为（，）） |
已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，|PF|=4．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ） 设点A（x1，y1），B（x2，y2）（yi≤0，i=1，2）是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，求△PAB的面积最大时直线AB的方程． |
若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在直线x-2y-2=0上，则该抛物线的准线方程为（ ）| A．x=-2 | B．x=4 | C．x=-8 | D．y=-4 |
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