设F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过F且与抛物线C对称轴垂直的直线被抛物线C截得线段长为4.(1)求抛物线C方程.(2)设A、B为抛物线C上异于原点
题型:许昌二模难度:来源:
设F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过F且与抛物线C对称轴垂直的直线被抛物线C截得线段长为4. (1)求抛物线C方程. (2)设A、B为抛物线C上异于原点的两点且满足FA⊥FB,延长AF、BF分别抛物线C于点C、D.求:四边形ABCD面积的最小值. |
答案
(1)由条件得2p=4,∴抛物线C的方程为y2=4x; (2)两直线垂直,焦点为(1,0),不妨设两直线为:y=k(x-1)(k≠0)与ky=1-x y=k(x-1)与抛物线方程联立,可得k2 x2-2(k2+2)x+k2=0, 设A(x1,y1),C(x2,y2),则|x1-x2|== ∴弦长|AC|=|x1-x2|= 同理可得,弦长|BD|=4(k2+1) ∵两条直线相互垂直,∴这个四边形的面积S=|AC||BD|=8(k2++2)≥8(2+2)=32 当且仅当k=±1时等号成立,此时取到面积最小值为32. |
举一反三
设点P是曲线C:x2=2py(p>0)上的动点,点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为. (1)求曲线C的方程; (2)若点P的横坐标为1,过P作斜率为k(k≠0)的直线交C于点Q,交x轴于点M,过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N,问是否存在实数k,使得直线MN与曲线C相切?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. |
2、焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是( )A.y2=8(x+1) | B.y2=-8(x+1) | C.y2=8(x-1) | D.y2=-8(x-1) | 抛物线y2=8-4x的准线方程是______,圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是______. | 在直角坐标系中,有四点A(-1,2),B (0,1),C (1,2),D (x,y)同时位于一条拋物线上,则x与y满足的关系式是______. | 以直线x=-2为准线的抛物线的标准方程是______. |
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