对称轴为坐标轴,顶点在坐标原点的抛物线C经过两点A(a,2a)、B(4a,4a)(其中a为正常数),(1)求抛物线C的方程;(2)设动点T(m,0)(m>a),
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对称轴为坐标轴,顶点在坐标原点的抛物线C经过两点A(a,2a)、B(4a,4a)(其中a为正常数), (1)求抛物线C的方程; (2)设动点T(m,0)(m>a),直线AT、BT与抛物线C的另一个交点分别为A1、B1,当m变化时,记所有直线A1B1组成的集合为M,求证:集合M中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上。 |
答案
解:(1)当抛物线焦点在x轴上时,设抛物线方程y2=2px, ∵, ∴p=2a, ∴y2=4ax; 当抛物线焦点在y轴上时,设抛物线方程x2=2py, ∵, ∴方程无解, ∴抛物线不存在。 (2)设A1(as2,2as)、B1(at2,2at),T(m,0)(m>a), ∵, ∴, ∴as2+(m-a)s-m=0, ∵(as+m)(s-1)=0, ∴, ∴A1(,-2m), ∵, ∴, ∵2at2+(m-4a)t-2m=0, ∴(2at+m)(t-2)=0, ∴t=, ∴B1(,-m), ∴的直线方程为y+2m=, ∵直线的斜率为在(a,+∞)单调, ∴所以集合M中的直线必定相交, ∵直线的横截距为在(a,+∞)单调,纵截距为在(a,+∞)单调, ∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上。 |
举一反三
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