设抛物线C：y=x2-2m2x-（2m2+1）（m∈R），（1）求证：抛物线C恒过x轴上一定点M；（2）若抛物线与x轴的正半轴交于点N，与y轴交于点P，求证：P

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设抛物线C：y=x²-2m²x-（2m²+1）（m∈R），
（1）求证：抛物线C恒过x轴上一定点M；
（2）若抛物线与x轴的正半轴交于点N，与y轴交于点P，求证：PN的斜率为定值；
（3）当m为何值时，△PMN的面积最小？并求此最小值．

答案

（1）由y=x²-2m²x-（2m²+1）得
y=x²-2m²（x-1）-1
令x-1=0，即x=1，则无论m为何值，总有y=1²-0-1=0．即抛物线恒过（1，0）．
（2）令y=0，有[x-（2m²+1）]（x+1）=0，解得x=2m²+1或x=-1，由于-1＜0，故n点坐标为（2m²+1，0）．
令x=0，得y=-（2m²+1），即p点坐标为（0，-（2m²+1））．
故pn的斜率=

-(2m2+1)-0

0-(2m 2+1)

=1为定值．
（3）依题得mn为三角形PMN的底，P点纵坐标的长度为三角形PMN的高．且
mn=2m²+1-1=2m²p点纵坐标的长度=2m²+1
故S_△PMN=

•2m²•（2m²+1）=2m⁴+m²，故当m=0时，三角形PMN面积有最小值0

举一反三

中国跳水运动员进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10

m，入水处距池边的距离为4m，同时，运动员在距水面高度为5m或5m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3

m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
（3）要使此次跳水不至于失误，该运动员按（1）中抛物线运行，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少？

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设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂）两点在抛物线y=2x²上，l是AB的垂直平分线．
1）当且仅当x₁+x₂取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．

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如图，等腰梯形ABCD中，线段Ab的中点O是抛物线的顶点，DA、AB、BC分别与抛物线切于点M、O、N．等腰梯形的高是3，直线CD与抛物线相交于E、F两点，线段EF的长是4．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求抛物线的方程；
（Ⅱ）求等腰梯形ABCD的面积的最小值，并确定此时M、N的位置．

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如图，设点A（x₀，y₀）为抛物线y2=

上位于第一象限内的一动点，点B（0，y₁）在y轴正半轴上，且|OA|=|OB|，直线AB交x轴于点P（x₂，0）．
（Ⅰ）试用x₀表示y₁；
（Ⅱ）试用x₀表示x₂；
（Ⅲ）当点A沿抛物线无限趋近于原点O时，求点P的极限坐标．

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若抛物线y²=x上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=x+b对称，且y₁y₂=-1，则实数b的值为（　　）

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