设A(x1,y1).B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线.1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论;2)

设A(x1,y1).B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线.1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论;2)

题型:不详难度:来源:
设A(x1,y1).B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线.
1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论;
2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上截距的取值范围.
答案
(Ⅰ)∵抛物线y=2x2,即x2=
y
2
,∴p=
1
4

∴焦点为F(0,
1
8

(1)直线l的斜率不存在时,显然有x1+x2=0
(2)直线l的斜率存在时,设为k,截距为b
即直线l:y=kx+b由已知得:





y1+y2
2
=k•
x1+x2
2
+b
y1-y2
x1-x2
=-
1
k






2x21
+
2x22
2
=k•
x1+x2
2
+b
2x21
-
2x22
x1-x2
=-
1
k





x21
+
x22
=k•
x1+x2
2
+b
x1+x2=-
1
2k

⇒x12+x22=-
1
4
+b≥0⇒b≥
1
4

即l的斜率存在时,不可能经过焦点F(0,
1
8

所以当且仅当x1+x2=0时,直线l经过抛物线的焦点F
(II)设直线l的方程为:y=2x+b,
故有过AB的直线的方程为y=-
1
2
x+m,代入抛物线方程有2x2+
1
2
x-m=0,得x1+x2=-
1
4

由A、B是抛物线上不同的两点,于是上述方程的判别式△=
1
4
+8m>0,也就是:m>-
1
32

由直线AB的中点为(
x1+x2
2
y1+y2
2
)=(-
1
8
1
16
+m),
1
16
+m=-
1
4
+b,于是:b=
5
16
+m>
5
16
-
1
32
=
9
32

即得l在y轴上的截距的取值范围是(
9
32
,+∞).
举一反三
如图,等腰梯形ABCD中,线段Ab的中点O是抛物线的顶点,DA、AB、BC分别与抛物线切于点M、O、N.等腰梯形的高是3,直线CD与抛物线相交于E、F两点,线段EF的长是4.
(Ⅰ)建立适当的直角坐标系,求抛物线的方程;
(Ⅱ)求等腰梯形ABCD的面积的最小值,并确定此时M、N的位置.
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如图,设点A(x0,y0)为抛物线y2=
x
2
上位于第一象限内的一动点,点B(0,y1)在y轴正半轴上,且|OA|=|OB|,直线AB交x轴于点P(x2,0).
(Ⅰ)试用x0表示y1
(Ⅱ)试用x0表示x2
(Ⅲ)当点A沿抛物线无限趋近于原点O时,求点P的极限坐标.
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若抛物线y2=x上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为(  )
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A.-3B.3C.2D.-2
设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(数学公式,0)的直线与抛物线相交于A、B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比数学公式=(  )
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A.数学公式B.数学公式C.数学公式D.数学公式
点Q在抛物线y2=4x上,点P(a,0)满足|PQ|≥|a|恒成立,则a的取值范围是(  )
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