已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py(p>0)上,该圆经过点A(0,p),且与x轴交于两点M、N,则sin∠MCN的最大值为______.
题型:石家庄一模难度:来源:
已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py(p>0)上,该圆经过点A(0,p),且与x轴交于两点M、N,则sin∠MCN的最大值为______. |
答案
由题意,设C(x0,y0),则⊙C的方程(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2. 把y=0和x02=2py0代入整理得x2-2x0x+x02+p2=0. 设M、N的横坐标分别为x1、x2,则x1=x0-p,x2=x0+p. ∴|MN|=|x1-x2|=2p. ∵|CM|=|CN|== ∴cos∠MCN==1- ∴-1≤cos∠MCN<1, ∵0<∠MCN<π ∴0<sin∠MCN≤1, ∴sin∠MCN的最大值为1 故答案为:1 |
举一反三
抛物线y2=2px(p>0)的动弦AB长为a(a≥2p),则弦AB的中点M到y轴的最小距离为______. |
要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边的柱长应为______米. |
河上有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽为8 m,一小船宽4 m,高2 m,载货后船露出水面上的部分高m,问水面上涨到与抛物线拱顶相距______m时,小船不能通航. |
已知抛物线x2=y+1上一定点A(-1,0)和两动点P,Q当PA⊥PQ时,点Q的横坐标的取值范围是______. |
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点,交准线于点C.若=2,则直线AB的斜率为______. |
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