如图,弯曲的河流是近似的抛物线C,公路l恰好是C的准线,C上的点O到l的距离最近,且为0.4千米,城镇P位于点O的北偏东30°处,|OP|=10千米,现要在河岸

如图,弯曲的河流是近似的抛物线C,公路l恰好是C的准线,C上的点O到l的距离最近,且为0.4千米,城镇P位于点O的北偏东30°处,|OP|=10千米,现要在河岸

题型:不详难度:来源:
如图,弯曲的河流是近似的抛物线C,公路l恰好是C的准线,C上的点O到l的距离最近,且为0.4千米,城镇P位于点O的北偏东30°处,|OP|=10千米,现要在河岸边的某处修建一座码头,并修建两条公路,一条连接城镇,一条垂直连接公路l,以便建立水陆交通网.
(1)建立适当的坐标系,求抛物线C的方程;
(2)为了降低修路成本,必须使修建的两条公路总长最小,请给出修建方案(作出图形,在图中标出此时码头Q的位置),并求公路总长的最小值(精确到0.001千米)魔方格
答案
(1)过点O作准线的垂线,垂足为A,以OA所在直线为x轴,OA的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系…(2分)
由题意得,
p
2
=0.4
…(4分)
所以,抛物线C:y2=1.6x…(6分)
(2)设抛物线C的焦点为F由题意得,P(5,5


3
)
…(8分)
根据抛物线的定义知,公路总长=|QF|+|QP|≥|PF|≈9.806…(12分)
当Q为线段PF与抛物线C的交点时,公路总长最小,
最小值为9.806千米…(16分)
举一反三
已知P为抛物线y2=4x上一点,设P到准线的距离为d1,P到点A(1,4)的距离为d2,则d1+d2的最小值为______.
题型:长宁区二模难度:| 查看答案
若直线l过抛物线y=ax2(a>0)的焦点,并且与y轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4,则a=______.
题型:郑州二模难度:| 查看答案
已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A,B两点,过点A,点B分别作AM,BN垂直于抛物线的准线,分别交准线于M,N两点,那么∠MFN必是(  )
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A.锐角B.直角
C.钝角D.以上皆有可能
以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系是______.
探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点,已知灯口直径是60 cm,灯深40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是 ______cm.