已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1。 (I)求曲线C的方程; (Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲
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已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1。 (I)求曲线C的方程; (Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲
题型:湖北省高考真题
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已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1。
(I)求曲线C的方程;
(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有
?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由。
答案
解:(Ⅰ)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足
化简为y
2
=4x(x>0);
(Ⅱ)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为 A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
设l的方程为
由
得
,于是
①
又
②
又
,于是不等式②等价于
③
由①式,不等式③等价于m
2
-6m+1<4t
2
, ④
对任意实数t,4t
2
的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于
即
由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有
,且m的取值范围是
。
举一反三
已知抛物线和双曲线都经过点M(1,2),它们在x轴上有共同焦点,双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点
(1)求这两条曲线的方程;
(2)直线l过轴上定点N(异于原点),与抛物线交于A、B两点且以AB为直径的圆过原点,试求出定点N的坐标。
题型:0117 期末题
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[ ]
A.18
B.24
C.36
D.48
题型:高考真题
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过抛物线x
2
=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点。A,B 在x轴上的正射影分别为D,C,若梯形ABCD的面积为12
,则p=( )。
题型:湖南省高考真题
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已知抛物线C:y
2
=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直l与C相交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D。 (1)证明:点F在直线BD上;
(2)设
=
,求△BDK的内切圆M的方程。
题型:高考真题
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已知抛物线C:y
2
=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为
的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若
,则p=( )。
题型:高考真题
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