试题分析:(I)由抛物线的定义知, 解得或(舍去).得.抛物线C的方程为. (II)(ⅰ)由(I)知, 设, 可得,即,直线AB的斜率为, 根据直线和直线AB平行,可设直线的方程为, 代入抛物线方程得, 整理可得, 直线AE恒过点. 注意当时,直线AE的方程为,过点, 得到结论:直线AE过定点. (ⅱ)由(ⅰ)知,直线AE过焦点, 得到, 设直线AE的方程为, 根据点在直线AE上, 得到,再设,直线AB的方程为, 可得, 代入抛物线方程得, 可求得,, 应用点B到直线AE的距离为. 从而得到三角形面积表达式,应用基本不等式得到其最小值. 试题解析:(I)由题意知 设,则FD的中点为, 因为, 由抛物线的定义知:, 解得或(舍去). 由,解得. 所以抛物线C的方程为. (II)(ⅰ)由(I)知, 设, 因为,则, 由得,故, 故直线AB的斜率为, 因为直线和直线AB平行, 设直线的方程为, 代入抛物线方程得, 由题意,得. 设,则,. 当时,, 可得直线AE的方程为, 由, 整理可得, 直线AE恒过点. 当时,直线AE的方程为,过点, 所以直线AE过定点. (ⅱ)由(ⅰ)知,直线AE过焦点, 所以, 设直线AE的方程为, 因为点在直线AE上, 故, 设, 直线AB的方程为, 由于, 可得, 代入抛物线方程得, 所以, 可求得,, 所以点B到直线AE的距离为
. 则的面积, 当且仅当即时等号成立. 所以的面积的最小值为16. |