已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q,交直线l1

已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q,交直线l1

题型:不详难度:来源:
已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q,交直线l1于点R,求·的最小值.
答案
(1)x2=4y(2)16
解析
(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离,
∴点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线.∴所求轨迹的方程为x2=4y.

(2)由题意直线l2的方程为y=kx+1,与抛物线方程联立消去y,得x2-4kx-4=0.
记P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.
由直线PQ的斜率k≠0,易得点R的坐标为
·+(kx1+2)(kx2+2)
=(1+k2)x1x2(x1+x2)++4
=-4(1+k2)+4k+4=4+8.
∵k2≥2,当且仅当k2=1时取到等号.
·≥4×2+8=16,即·的最小值为16.
举一反三
设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是________.
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如图,过抛物线C:y2=4x上一点P(1,-2)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于点A(xy1),B(x2,y2).

(1)求y1+y2的值;
(2)若y1≥0,y2≥0,求△PAB面积的最大值.
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已知抛物线y2=2px(p≠0)上存在关于直线x+y=1对称的相异两点,则实数p的取值范围为________.
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已知抛物线y2=2px(p≠0)及定点A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa,M是抛物线上的点.设直线AM、BM与抛物线的另一个交点分别为M1、M2,当M变动时,直线M1M2恒过一个定点,此定点坐标为________.
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,焦点F的坐标为(1,0).
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)设M、N是抛物线C的准线上的两个动点,且它们的纵坐标之积为-4,直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B,求证:动直线AB恒过一个定点.
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