在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,焦点F的坐标为(1,0).(1)求抛物线C的标准方程;(2)设M、N是抛物线C的准线上的两个动点,且它们的纵坐标
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,焦点F的坐标为(1,0).(1)求抛物线C的标准方程;(2)设M、N是抛物线C的准线上的两个动点,且它们的纵坐标
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,焦点F的坐标为(1,0).
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)设M、N是抛物线C的准线上的两个动点,且它们的纵坐标之积为-4,直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B,求证:动直线AB恒过一个定点.
答案
(1)y
2
=4x(2)见解析
解析
(1)设抛物线的标准方程为y
2
=2px(p>0),则
=1,p=2,所以抛物线方程为y
2
=4x.
(2)抛物线C的准线方程为x=-1,设M(-1,y
1
),N(-1,y
2
),其中y
1
y
2
=-4,直线MO的方程:y=-y
1
x,将y=-y
1
x与y
2
=4x联立解得A点坐标
.同理可得B点坐标
,则直线AB的方程为:
,整理得(y
1
+y
2
)y-4x+4=0,故直线AB恒过定点(1,0).
举一反三
已知抛物线x
2
=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线交抛物线于A、B两点,抛物线在A、B两点处的切线交于点M.
(1)求证:A、M、B三点的横坐标成等差数列;
(2)设直线MF交该抛物线于C、D两点,求四边形ACBD面积的最小值.
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在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,1),P是动点,且△POA的三边所在直线的斜率满足k
OP
+k
OA
=k
PA
.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点,且
=λ
,直线OP与QA交于点M,问:是否存在点P,使得△PQA和△PAM的面积满足S
△PQA
=2S
△PAM
?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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已知抛物线
.
(1)若圆心在抛物线
上的动圆,大小随位置而变化,但总是与直线
相切,求所有的圆都经过的定点坐标;
(2)抛物线
的焦点为
,若过
点的直线与抛物线相交于
两点,若
,求直线
的斜率;
(3)若过
正半轴上
点的直线与该抛物线交于
两点,
为抛物线上异于
的任意一点,记
连线的斜率为
试求满足
成等差数列的充要条件.
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在平面直角坐标系
中,抛物线
上纵坐标为
的点到焦点的距离
为
,则焦点到准线的距离为( )
A.
B.
C.
D.
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已知直线
和直线
,抛物线
上一动点
到直线
和直线
的距离之和的最小值是( )
A.
B.2
C.
D.3
题型:不详
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