已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为(  )A.B.C.1D.2

已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为(  )A.B.C.1D.2

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已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为(  )
A.B.C.1D.2

答案
D
解析
易知,AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+b.
得x2-4kx-4b=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1,x2是上述方程的两个根,
∴x1+x2=4k,x1·x2=-4b,
又|AB|=6,
=6,
化简得b=-k2,
设AB中点为M(x0,y0),
则y0===+b
=2k2+-k2
=k2+=(k2+1)+  -1
≥2×-1=2.
当且仅当k2+1=,
即k2=时,y0取到最小值2.故选D.
举一反三
已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.
(1)求抛物线方程及其焦点坐标;
(2)已知O为原点,求证:∠MON为定值.
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若抛物线y2=2px(p>0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则p的值为(  )
A.2B.18
C.2或18D.4或16

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已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线与该抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则+的最小值是(  )
A.4B.8C.12D.16

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设动点P(x,y)(x≥0)到定点F的距离比到y轴的距离大.记点P的轨迹为曲线C.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在P的轨迹上,BD是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时弦长BD是否为定值?说明理由;
(3)过F作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S,求四边形GRHS面积的最小值.
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如图,从点发出的光线,沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点,再经抛物线反射后射向直线上的点,经直线反射后又回到点,则等于(   )
A.B.C.D.

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