已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为(　　)A．B．C．1D．2

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已知抛物线x²=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为(　　)

A．

B．

C．1

D．2

答案

解析

易知,AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+b.
由

得x²-4kx-4b=0.
设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
则x₁,x₂是上述方程的两个根,
∴x₁+x₂=4k,x₁·x₂=-4b,
又|AB|=6,
∴

=6,
化简得b=

-k²,
设AB中点为M(x₀,y₀),
则y₀=

+b
=2k²+

-k²
=k²+

=(k²+1)+

-1
≥2×

-1=2.
当且仅当k²+1=

,
即k²=

时,y₀取到最小值2.故选D.

举一反三

已知E(2,2)是抛物线C:y²=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.
(1)求抛物线方程及其焦点坐标;
(2)已知O为原点,求证:∠MON为定值.

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若抛物线y²=2px(p>0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则p的值为(　　)

A．2	B．18
C．2或18	D．4或16

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已知抛物线y²=4x的焦点为F,过F的直线与该抛物线相交于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)两点,则

的最小值是(　　)

A．4

B．8

C．12

D．16

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设动点P(x,y)(x≥0)到定点F

的距离比到y轴的距离大

.记点P的轨迹为曲线C.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在P的轨迹上,BD是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时弦长BD是否为定值?说明理由;
(3)过F

作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S,求四边形GRHS面积的最小值.

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如图，从点

发出的光线，沿平行于抛物线

的对称轴方向射向此抛物线上的点

，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点

，再经抛物线反射后射向直线

上的点

，经直线反射后又回到点

，则

等于( )

A．

B．

C．

D．

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已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为( )A．B．C．1D．2