已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.(1

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已知E(2,2)是抛物线C:y²=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.
(1)求抛物线方程及其焦点坐标;
(2)已知O为原点,求证:∠MON为定值.

答案

(1) 抛物线方程为y²=2x,焦点坐标为   (2)见解析

解析

解:(1)∵点E(2,2)在抛物线y²=2px上,
∴4=2p×2,∴p=1.
∴抛物线方程为y²=2x,焦点坐标为.

(2)显然,直线l斜率存在,且不为0.
设l斜率为k,则l方程为y=k(x-2).
由
得ky²-2y-4k=0,
设A,B.
则y₁+y₂=,y₁·y₂=-4.
∵k_EA===.
∴EA方程为y-2=(x-2).
令x=-2,得y=2-=.
∴M.
同理可求得N.
∴·=·
=4+
=4+
=0
∴⊥.
即∠MON=90°,
∴∠MON为定值.