已知动圆过定点(1,0),且与直线相切.(1)求动圆圆心的轨迹方程;(2)设是轨迹上异于原点的两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,①当时,求证直线恒过一定点;②

已知动圆过定点(1,0),且与直线相切.(1)求动圆圆心的轨迹方程;(2)设是轨迹上异于原点的两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,①当时,求证直线恒过一定点;②

题型:不详难度:来源:
已知动圆过定点(1,0),且与直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)设是轨迹上异于原点的两个不同点,直线的倾斜角分别为,①当时,求证直线恒过一定点
②若为定值,直线是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1);(2)①参考解析,②
解析

试题分析:(1)根据题意可假设抛物线方程为,由抛物线的定义可求得的值,从而可求得抛物线的方程.
(2)根据题意假设直线AB的方程,联立抛物线的方程,消去y得到一个关于x的一元二次方程,由韦达定理得到A,B两点坐标的等式.①由直线的垂直可得到A,B坐标的一个等式,从而可化简直线AB的方程即可得到结论.②当为一个一般的定值时,需要分类讨论,解决问题的方法类似于①小题,同样是通过A,B的斜率关系得到一个等式,从而得到结论.
试题解析:(1)设动圆圆心M(x,y),
依题意点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线其方程为.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得x1≠x2(否则)且x1x2≠0,则
所以直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b,
则将y=kx+b与y2=4x联立消去x,得ky2-4y+4b=0
由韦达定理得-------※
①当=时,所以,所以y1y2=16,又由※知:y1y2=所以b=4k;因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k,所以直线AB恒过定点(-4,0).
②当为定值时.若=,由①知,
直线AB恒过定点M(-4,0)当时,由,得==
将※式代入上式整理化简可得:,所以,此时,直线AB的方程可表示为y=kx+,所以直线AB恒过定点所以当时,直线AB恒过定点(-4,0).,
时直线AB恒过定点
举一反三
如图,直线y=m与抛物线y2=4x交于点A,与圆(x-1)2+y2=4的实线部分交于点B,F为抛物线的焦点,则三角形ABF的周长的取值范围是 (      )
A.(2,4)B.(4,6)C.[2,4]D.[4,6]

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抛物线上一点的纵坐标为4,则点与抛物线焦点的距离为(      )
A.2B.3C.4D.5

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抛物线上的一点到焦点的距离为1,则点的纵坐标是               .
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如图,抛物线的焦点为,准线为,经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点,垂足为,则的面积是( )
A.B.C.D.

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如图,直线,抛物线,已知点在抛物线上,且抛物线上的点到直线的距离的最小值为

(1)求直线及抛物线的方程;
(2)过点的任一直线(不经过点)与抛物线交于两点,直线与直线相交于点,记直线的斜率分别为.问:是否存在实数,使得?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由.
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